Biến đổi Fourier liên tục

Thông thường, tên gọi biến đổi Fourier được gắn cho biến đổi Fourier liên tục, biến đổi này biểu diễn một hàm bình phương khả tích f(t) bất kì theo tổng của các hàm e lũy thừa phức với tần số góc ω và biên độ phức F(ω):

f ( t ) = F − 1 ( F ) ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω . {\displaystyle f(t)={\mathcal {F}}^{-1}(F)(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega .}

Đây là biến đổi nghịch đảo của biến đổi Fourier liên tục, trong khi biến đổi Fourier biểu diễn hàm F(ω) theo f(t). Xem biến đổi Fourier liên tục để biết thêm chi tiết.

Chuỗi Fourier

Biến đổi Fourier liên tục là dạng tổng quát của một khái niệm có từ trước, đó là chuỗi Fourier. Chuỗi Fourier khai triển các hàm tuần hoàn f(x) với chu kì 2π (hoặc các hàm có tập xác định bị chặn) theo chuỗi của các hàm sin:

f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n e i n x , {\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx},}

trong đó F n {\displaystyle F_{n}} là biên độ phức. Cho các hàm thực, chuỗi Fourier có thể được viết dưới dạng:

f ( x ) = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ⁡ ( n x ) + b n sin ⁡ ( n x ) ] , {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right],}

trong đó an và bn là các hằng số Fourier (giá trị thực).

Biến đổi Fourier rời rạc

Các dạng khác